TABLE DES MATIERES

Problemes a N-corps et champs quantiques
P.A. Martin et F. Rothen
Presse polytechniques et universitaires romandes
Lausanne 1990 

AVANT-PROPOS

GUIDE DE LECTURE

CHAPITRE 1 CHAMPS CLASSIQUES ET PARTICULES 
ASSOCIEES . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1

Introduction. . . . . . . . . . . . . . .. 1

1.1 Oscillateur harmonique quantique 4
1.1.1 Rappel des proprietes . . . . . . . . . . .. 4
1.1.2 Etats coherents 7
1.1.3 Oscillateur force. . . . . . . . . . . . .. 12
1.1.4 0rdre normal 13

1.2 Champ electromagnetique et photon. . . . . .. 15
1.2.1 Equations de Maxwell. . . . . . . . . . .. 15
1.2.2 Transfonnations de jauge 16
1.2.3 Decomposition du champ en parties longitudinale et
transverse 18
1.2.4 Hamiltonien de l'interaction du rayonnement avec
la matiere non relativiste . . . . . . . . . .. 20
1.2.5 Analyse de Fourier du champ classique libre .. 21
1.2.6 Ensemble de photons et champ classique . . .. 25

1.3 Champ e1astique et phonon. . . . . . . . .. 28
1.3.1 Ondes et energie elastiques . . . . . . . . .. 28
1.3.2 Ondes et energie elastiques du solide isotrope .. 30
1.3.3 Analyse de Fourier des ondes elastiques 33
1.3.4 Ensemble de phonons et ondes elastiques classiques 34
1.3.5 La chaine lineaire classique . . . . . . . . .. 36
1.3.6 La chaine lineaire quantique . . . . . . . .. 39

CHAPITRE 2 FERMIONS ET BOSONS . . . . . . . . . . . .. 43

2.1 Le principe de symetrisation. . . . . . . . .. 43
2.1.1 Particules identiques. . . . . . . . . . . .. 43
2.1.2 Etats a une particule 45
2.1.3 Conditions au bord periodiques et limite thermody-
namique. . . . . . . . . . . . . . . . .. 46
2.1.4 Etats a n particules . . . . . . . . . . . .. 50
2.1.5 Symetrisation 52
2.1.6 Symetrie des particules composees . . . . . .. 55
2.1.7 Representation en nombres d'occupation . . .. 56

2.2 Les gaz degeneres 59
2.2.1 L'etat fondamental de n bosons . . . . . . .. 59
2.2.2 L'etat fondamental de n fermions . . . . . .. 63
2.2.3 Energie et densite des gaz degeneres . . . . .. 67
2.2.4 Stabilite de la matiere. . . . . . . . . . .. 69
2.2.5 Plasma nucleoelectronique a haute densite ... 72
2.2.6 Fermions et gravitation. . . . . . . . . .. 73

CHAPITRE 3 SYSTEMES DE PARTICULES EN NOMBRE
VARIABLE. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75

Introduction 75

3.1 Formalisme de la seconde quantification. . . .. 76
3.1.1 L'espace de Fock 76
3.1.2 Operateurs de creation et d'annihilation 78
3.1.3 Etats de l'espace de Fock. . . . . . . . . .. 82
3.1.4 0rdre normal 84
3.1.5 Operateurs a un corps. . . . . . . . . . .. 86
3.1.6 Evolution libre et symetries. . . . . . . . .. 89
3.1.7 Operateurs a deux corps. . . . . . . . . .. 92
3.1.8 Matrices densite reduites et correlations. . . .. 96
3.1.9 Correlations dans les gaz de Fermi et de Bose libres . 100

3.2 Comment realiser un gaz parfait quantique . . .. 102

CHAPITRE 4 LE GAZ ELECTRONIQUE . . . . . . . . . . .. 107

4.1 La methode de Hartree-Fock . . . .'. . . .. 107
4.1.1 Le principe variationnel . . . . . . . . . .. 107
4.1.2 Les equations de Hartree-Fock . . . . . . .. 109
4.2 Le gaz electronique dans l'approximation de Hartree-
Fock 113
4.2.1 Le gaz electronique et son hamiltonien . . . .. 113
4.2.2 L'energie de Hartree-Fock . . . . . . . . .. 117

4.3 La fonction dielectrique. . . . . . . . . . .. 121
4.3.1 Le phenomene d'ecran et le plasmon. . . . .. 121
4.3.2 Reponse a une charge exterieure. . . . . . .. 124
4.3.3 Evolution d'une fluctuation de charge. . . .. 127
4.3.4 La fonction dielectrique RPA . . . . . . . .. 131

CHAPITRE 5 APPARIEMENT DES FERMIONS ET
SUPRACONDUCTIVITE . . . . . . . . . . . .. 137

5.1 Existe-t-il un analogue de la condensation de Bose
pour les fermions? . . . . . . . . . . . . .. 137

5.2 Phenomenologie de la supraconductivite . . . .. 139
5.2.1 Faits experimentaux . . . . . . . . . . . .. 139
5.2.2 Approche phenomenologique . . . . . . . .. 141
5.2.3 Fluides quantiques macroscopiques . . . . .. 145
5.2.4 Existence d'une bande interdite . . . . . . .. 149

5.3 Theorie BCS 150
5.3.1 Interaction effective entre electrons. . . . . .. 150
5.3.2 Application de la methode variationnelle en supra-
conductivite 151
5.3.3 Ambiguite de signe . . . . . . . . . . . .. 154
5.3.4 Classe variationnelle d'etats BCS . . . . . .. 155
5.3.5 Comment calculer avec un etat BCS . . . . .. 156
5.3.6 Recherche de l'etat d'energie minimale . . . .. 160
5.3.7 La bande interdite                    163
5.3.8 Extension spatiale d'une paire de Cooper. . .. 165

5.4 Nombre de particules et phase en supraconductivite. 167
5.4.1 Faut-il fixer le nombre de particules ou la phase? . 167
5.4.2 Analogie avec la physique statistique . . . . .. 168

CHAPITRE 6 APPARIEMENT DES NUCLEONS ET
STRUCTURE DU NOYAU . . . . . . . . . . .. 171

Introduction 171

6.1 Grandes lignes de la structure nucleaire . . . .. 171
6.1.1 Forces nucleaires . . . . . . . . . . . . .. 171
6.1.2 Modele de la goutte liquide. . . . . . . . .. 173
6.1.3 Energie d'appariement . . . . . . . . . . .. 175
6.1.4 Energie de couche. . . . . . . . . . . . .. 177

6.2 Modele en couches. . . . . . . . . . . . .. 178
6.2.1 Potentiel moyen du modele en couches. . . .. 178
6.2.2 Nombres magiques . . . . . . . . . . . .. 179

6.3 Appariement des nucleons. . . . . . . . . .. 182
6.3.1 Necessite du modele. . . . . . . . . . . .. 183
6.3.2 Interaction responsable de l'appariement . . .. 185
6.3.3 Methode variationnelle et etat BCS . . . . .. 186
6.3.4 Determination de l'etat fondamental d'un noyau
apparie 189
6.3.5 Etats fondamental et excite d'un noyau apparie
spherique . . . . . . . . . . . . . . . .. 191
6.3.6 Spectre des noyaux apparies . . . . . . . .. 192
6.3.7 Moment cinetique total des noyaux spheriques
pairs-pairs 195

6.4 Relation entre appariement et superftuidite . . .. 197
6.4.1 En quoi le noyau peut-il etre superftuide? . . .. 197
6.4.2 Noyau excite dans un etat de caractere rotationnel 197
6.4.3 Moment d'inertie d'un noyau deforme . . . .. 198

CHAPITRE 7 SUPERFLUIDITE DE L'HELIUM LIQUIDE 201

7.1 Faits experimentaux . . . . . . . . . . . .. 201
7.1.1 Diagramme des phases de He 201
7.1.2 Proprietes de la phase superfluide He II 203

7.2 Liquide quantique et modele des deux fluides . .. 206
7.2.1 Phase superfluide et liquide quantique . . . .. 206
7.2.2 Dissipation dans le superfluide . . . . . . .. 207
7.2.3 Second son           211

7.3 Spectre energetique de He II . . . . . . . .. 215
7.3.1 Excitations de He II. . . . . . . . . . . .. 215
7.3.2 Ecoulement sans viscosite a travers un capillaire. 219

7.4 Gaz de Bose imparfait . . . . . . . . . . .. 221
7.4.1 Approximation et transformation de Bogoliubov. 221
7.4.2 Gaz ou liquide de Bose? . . . . . . . . . .. 225

7.5 Superfluidite de I'isotope leger He . . . . . .. 226
7.5.1 Un liquide de Fermi. . . . . . . . . . . .. 226
7.5.2 Superfluidite de He . . . . . . . . . . . .. 227

CHAPITRE 8 CHAMPS QUANTIQUES . . . . . . . . . . . .. 229

Introduction 229

8.1 Champ electromagnetique quantique 231
8.1.1 Champ libre 231
8.1.2 Variables canoniques . . . . . . . . . . .. 235
8.1.3 Fonction de commutation invariante et microcausa-
lite 236
8.1.4 Emission de photons par une source classique .. 239
8.1.5 Etatscoherents de photons 241
8.1.6 Emission et absorbtion de photons par un atome. 243
8.1.7 Emission spontanee . '. . . . . . . . . . .. 246
8.1.8 Equilibre des photons et de la matiere. . . .. 247
8.1.9 Statistique des photons. . . . . . . . . .. 248

8.2 Champ scalaire massif. . . . . . . . . . .. 251
8.2.1 Champ scalaire neutre . . . . . . . . . . .. 251
8.2.2 Spin et statistique . . . . . . . . . . . . .. 253
8.2.3 Potentiel de Yukawa 255
8.2.4 Champ scalaire charge. . . . . . . . . . .. 259
8.2.5 Formalisme lagrangien. . . . . . . . . . .. 262
8.2.6 Principe d'invariance de jauge et interaction des
champs 266
8.2.7 Generation de masse. . . . . . . . . . .. 270

8.3 Electrons et phonons . . . . . . . . . . . .. 275
8.3.1 Champ de Fermi non relativiste . . . . . . .. 275
8.3.2 Champ elastique quantique . . . . . . . . .. 278
8.3.3 Interaction electrons-phonons . . . . . . . .. 280

CHAPITRE 9 METHODES PERTURBATIVES EN THEORIE
DES CHAMPS. . . . . . . . . . . . . . . . .. 285

Introduction 285

9.1 Fonction de Green. . . . . . . . . . .. 286
9.1.1 Definition 286
9.1.2 Fonction de Green de la particule libre . . . .. 290
9.1.3 Particule dans un champ exterieur . . . . . .. 293
9.1.4 Exemple simplifie: la paire de Cooper. . . .. 299

9.2 Developpement perturbatif de l'operateur de diffusion 301
9.2.1 Calcul de perturbation dependant du temps. .. 301
9.2.2 Operateur de diffusion. . . . . . . . . . .. 305
9.2.3 Fermions et bosons en interaction. . . . . .. 309
9.2.4 Theoreme de Wick pour les produits chronologiques 312
9.2.5 Contractions chronologiques et propagateurs .. 314
9.2.6 Diagrammes de Feynman .. . . . . . . .. 318

9.3 Applications 323
9.3.1 Interpretation physique des diagrammes . . .. 323
9.3.2 Interactions electromagnetiques: diffusion Comp-
ton. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 328
9.3.3 Electrodynamique quantique: corrections radiatives 335
9.3.4 Interaction electrons-phonons . . . . . . . .. 339
9.3.5 Sommation de diagrammes . . . . . . . . .. 342

CHAPITRE 10 METHODES PERTURBATIVES DANS
LES PROBLEMES A N-CORPS 349

10.1 Proprietes generales 349
10.1.1 Fonction de Green 11 a corps 349
10.1.2 Calcul perturbatif de la fonction de Green 353
10.1.3 Particule dans un champ exterieur et theoreme des
diagrammes connexes 357
10.1.4 Particules en interaction 362

10.2 Schemas d'approximation pour la description du gaz
electronique 367
10.2.1 Approximation de Hartree-Fock . 368
10.2.2 Approximation RPA 369

BIBLIOGRAPHIE. 377

INDEX. 383